Álgebra

Álgebra

Álgebra é a parte da ciência matemática que analisa os processos racionais para se efetuar operações tais como a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação, através do auxílio de símbolos que representam números ou elementos não especificados. Com o tempo, o termo passou a incluir o estudo crítico das equações, as propriedades dos polinômios e o estudo das funções e das séries, até constituir o que se denominou de álgebra superior.

No século IX foi publicado o tratado Khitab al-djabr wal mukabala (Breve tratado acerca do cálculo de recuperação e da contratransposição) do matemático e astrônomo árabe Abu Jafar Mohamed ibn Musa al- Khwarizmi, no qual apareciam, pela primeira vez, fórmulas gerais para a resolução de equações de primeiro e segundo graus. O título da obra em árabe deu origem ao vocábulo "álgebra"; do sobrenome do autor, veio a palavra "algarismo".

Na resolução de problemas algébricos, utilizam-se símbolos (letras) não só para representar as quantidades desconhecidas, denominadas incógnitas, como também para designar as quantidades supostamente conhecidas através de termos chamados coeficientes. Esse método apresenta a grande vantagem de permitir a obtenção de fórmulas que resolvem um problema de forma geral, de modo que, para se chegar à solução de um caso particular, basta substituir na expressão algébrica correspondente o valor dos coeficientes.

Histórico. Entre os mais antigos registros de relações matemáticas que, em certo sentido, podem ser consideradas expressões algébricas, cabe mencionar as tábuas de Ahmes, papiro egípcio conservado no Museu Britânico, em Londres.

O conhecimento algébrico experimentou grande desenvolvimento na Grécia clássica, com os princípios da dedução matemática abstrata desenvolvidos pela escola pitagórica e com os trabalhos de Diofanto de Alexandria, matemático grego do século III a.C., que introduziu o uso de símbolos e realizou importantes pesquisas no campo das equações determinadas e indeterminadas. Outros trabalhos que contribuíram para o crescimento da álgebra foram realizados pela escola hindu, representada por figuras como Brahmagupta, Mahavira e Bhaskara.

Na Europa, a transição para o conhecimento algébrico moderno, durante os séculos XVI e XVII, decorreu das investigações de uma notável escola de especialistas em álgebra, que teve seu centro na Itália. Pertenceram a essa escola Niccolò Fontana, conhecido como Tartaglia, autor da teoria das equações de terceiro grau; Gerolamo Cardano, que realizou cálculos com raízes de números negativos e publicou o tratado Ars magna em 1545, uma compilação do conhecimento matemático da época; e Ludovico Ferrari, descobridor das soluções das equações de quarto grau.

A partir do século XVIII teve início a criação da moderna teoria algébrica, com interpretações decisivas como a de Jean-Baptiste Fourier, criador das funções de variável real e das séries que levam seu nome; e a de Issac Newton e de Gottfried Leibnitz, considerados fundadores do cálculo infinitesimal. Nesse contexto, surgiram noções fundamentais da álgebra como a de função, a de conjunto e a de mudança de variável. Também nessa época, ocorreu a diferenciação entre a tendência que reuniu os avanços nas técnicas de resolução de equações e o cálculo de funções e variáveis e aquela que incorporou os desenvolvimentos lógicos que constituíram os fundamentos da análise matemática.

Em ambas as disciplinas destacaram-se as contribuições de Paolo Ruffini, que afirmou a impossibilidade de se solucionar equações de grau superior a quatro; de Hans Henrik Abel, formulador de importantes teorias sobre as funções algébricas; e de Camille Jordan, que completou os estudos sobre grupos finitos.

Os trabalhos iniciais de outros grandes matemáticos do século XIX, como o barão de Cauchy, Arthur Cayley e William Rowan Hamilton, sofreram um aperfeiçoamento ao longo do qual se estabeleceu a distinção entre a chamada álgebra linear, que estuda os espaços vetoriais e as transformações lineares e na qual se introduzem conceitos tais como sucessões, limites, matrizes e determinantes, e a álgebra de conjuntos, com noções de sistemas algébricos como o grupo, o anel e o corpo.

Notações algébricas. A tendência à generalização, inerente aos estudos algébricos, recorre à utilização de uma série de símbolos e sinais convencionais que, relacionados entre si, constituem as equações, as transformações, as séries, as matrizes etc. Nas equações, as quantidades conhecidas são representadas através das primeiras letras do alfabeto, a, b, c,... e as desconhecidas pelas últimas,... x, y, z. Os termos constantes, por sua vez, são expressos com as letras c ou k, enquanto as quantidades de mesma espécie, porém de grandezas diferentes, são designadas através de sucessões de elementos com índices sobrescritos ou subscritos a', a'', a''' ou a1, a2, a3. No que se refere aos sinais de operação, em álgebra empregam-se alguns símbolos específicos, também utilizados na teoria dos conjuntos, além daqueles habitualmente encontrados nas notações matemáticas. Cabe citar os sinais de parênteses, (), de colchetes, [], e de chaves {}, além de símbolos maior que, >, menor que, <, idêntico a,  , congruente,  , pertencente a,  , e não pertencente a,  , entre outros.

Por outro lado, devido à diferente natureza das disciplinas que fazem uso da álgebra como instrumento de resolução de problemas, várias notações podem ser empregadas na representação dos sistemas e das equações algébricas. Entre elas, se destacam a notação cartesiana, com representação bidimensional entre os eixos coordenados; a notação espacial, na qual se relacionam segmentos e curvas em três dimensões, e o corpus de diagramas e símbolos específicos da teoria dos conjuntos, aplicada no estudo das estruturas algébricas.

Além disso, os números reais, que englobam os números racionais, os inteiros e os naturais, são denominados algébricos quando constituem a solução de uma equação de coeficientes inteiros.

Entretanto, quando os números reais não são algébricos, isto é, não constituem a solução da equação em estudo, são denominados de algarismos transcendentes. Assim, a raiz quadrada de 2,  , solução da equação x2 - 2 = 0, é um número algébrico; o número 2, por outro lado, é transcendente em relação a essa equação.
Os estudos da álgebra permitiram o desenvolvimento de fórmulas gerais para solucionar equações de crescente complexidade. Entre as relativamente simples, a equação de segundo grau, de forma geral ax2 + bx + c = 0.

Também são conhecidas fórmulas que resolvem genericamente, através de operações de radiciação, as equações de terceiro e quarto graus, ou seja aquelas com incógnitas elevadas ao cubo e à quarta potência.
Embora demonstrada, no século XIX, a impossibilidade de se resolver, mediante uma fórmula geral, equações de grau igual ou superior a cinco, isso não significa que elas não tenham solução, já que, no denominado espaço dos números complexos -- qualquer número que possa ser descrito sob a forma a + bi, sendo a e b números reais e i2 = -1 -- toda equação apresenta solução.

Esse princípio, chamado teorema fundamental da álgebra, postula que qualquer equação algébrica de grau n com coeficientes reais ou complexos, apresenta n raízes ou soluções no espaço complexo.

Em função do conteúdo desse teorema, o campo de aplicação da álgebra ultrapassou os limites da matemática prática, alcançando o âmbito da lógica.

Expressões algébricas. A noção de expressão algébrica está relacionada ao conjunto de quantidades numéricas, símbolos e sinais que determinam as diversas operações nos cálculos algébricos. É, portanto, o conjunto dos termos ligados pelos diferentes sinais de operações.

Uma expressão algébrica pode ser classificada de racional, quando não possuir letra no radicando ou letra elevada a expoente fracionário; irracional, quando existirem termos literais nessas posições; inteira, quando não apresenta letra no denominador, nem letra elevada a expoente negativo, denominando-se, caso contrário, fracionária.

Ainda no contexto das expressões algébricas, é necessário apresentar uma série de definições essenciais aos fundamentos desse ramo da ciência matemática. Assim, um termo é uma expressão na qual não aparecem quantidades separadas pelos sinais + e - (por exemplo, 3ab); um monômio é toda expressão inteira constituída por um só termo, e a incógnita ou variável é a notação literal (a, b, x etc.), representativa de uma quantidade desconhecida. Por outro lado, o coeficiente é definido como o número situado à esquerda de cada variável (no termo 3ab, por exemplo 3 é o coeficiente), enquanto que o expoente é o algarismo representado no canto superior direito de uma variável ou valor numérico, e indica quantas vezes tal incógnita ou algarismo deve ser tomada como fator (em a2, por exemplo 2 é o expoente). Por fim, o grau de uma equação é definido como a soma de todos os expoentes das variáveis de um termo. Então, o monômio 5ab2x, apresenta um coeficiente igual a 5, incógnitas a, b e x, expoentes 1, 2 e 1 e uma expressão de quarto grau.

A generalização algébrica tem, na utilização de números negativos, um de seus princípios básicos, cuja noção surgiu da necessidade de expressar, numericamente, as diferentes dimensões que pode adquirir uma magnitude susceptível a variações em sentidos opostos. Do conceito de números negativos, inteiros inferiores a zero e precedidos do sinal -, decorre a noção de soma algébrica, correspondente ao resultado de uma operação na qual a adição de uma quantidade negativa equivale à subtração do valor positivo correspondente.

Outra estrutura algébrica importante é o polinômio, soma algébrica de uma série de monômios, que pode ser denominado, também, segundo o número de termos que o integram. Então, se um polinômio é formado por dois termos, denomina-se binômio; por três, trinômio e assim por diante. Dessa forma, a expressão 2xb - a + 2x3 - 4xa é um polinômio de grau três (o grau do polinômio é definido pelo termo de maior grau) e de quatro termos.

Funções e equações. As operações com polinômios, considerados agora como sucessões de termos algébricos, tornam possível definir uma magnitude, da qual todas as outras seriam dependentes, denominada variável independente, de forma possibilitar a obtenção de seu valor numérico, dentro de um intervalo predefinido. Nesse contexto, se definem as funções algébricas, que contêm indicadas, relativamente à variável independente, as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação, além daquelas funções do tipo f(x,y) = 0, na qual a função aparece como um polinômio de forma xy, onde a variável independente não está explícita.

Por último, inseridos nos estudos de álgebra elementar, estão as equações, instrumentos muito úteis, tanto no ponto de vista teórico quanto prático, definidas como uma igualdade da qual fazem parte uma ou mais incógnitas, que podem adotar valores que tornem essa igualdade verdadeira.

Os meios de resolução de equações algébricas simples de primeiro grau, de forma ax + b = 0, até as mais complexas, de terceiro ou quarto graus, constitui uma das partes fundamentais da álgebra.

Um artifício algébrico de grande utilidade em diversos problemas matemáticos é o sistema de equações, conjunto cuja igualdade é satisfeita para os mesmos valores das incógnitas.

Esse sistema elementar, tal como conjuntos de maior complexidade, pode ser resolvido através de métodos de adição, substituição e comparação, e a solução ou conjunto verdade será x = 2 e y = 3.

Correspondências e operações: álgebra dos conjuntos. A moderna teoria dos conjuntos interpretados de forma particular pelos estudos algébricos, constitui um amplo campo dessa ciência.

Dados dois conjuntos A e B, define-se como produto cartesiano de A x B o conjunto de pares ordenados de elementos (a, b).

Quanto às correspondências entre conjuntos, essas são definidas como um subconjunto C do produto cartesiano A x B. Assim, um elemento a de A corresponde ao elemento b de B se o par (a, b) pertence a C. Nesse caso, diz-se que b é a imagem de a. O elemento do conjunto inicial A pode possuir uma ou várias imagens, ou, em alguns casos, não possuir nenhuma. Considerando os conjuntos A = (1, 2, 3) e B = (a, b), tem-se que uma correspondência entre eles é C = {(1, a), (1, b), (2, b)}.

Dentro da álgebra dos conjuntos, define-se uma aplicação como a correspondência existente entre dois conjuntos de tal modo que a todo elemento do conjunto inicial corresponde um só elemento do final.

Uma operação ou lei de composição interna definida em um conjunto A é uma aplicação de A x A em A, isto é, a cada par de elementos do conjunto A se associa um terceiro elemento, também de A. Nesse sentido, cabe citar o conceito de estrutura algébrica, entidade constituída por um determinado conjunto e uma ou mais aplicações definidas sobre os elementos que o compõem. Uma das principais estruturas algébricas é aquela na qual ao conjunto de elementos, possuidor dos elementos neutro e simétrico, se aplica a propriedade associativa.

Álgebra linear. A álgebra linear agrupa uma série de conceitos, como os de espaço vetorial, matriz e determinante. O primeiro consiste em um sistema de entes matemáticos, no qual pode-se estabelecer uma operação de adição com estrutura de grupo e uma operação de multiplicação que satisfaça as propriedades associativa e distributiva, além da existência, nesse sistema, do chamado elemento unitário. Outro artifício de grande importância na álgebra linear é a matriz, conjunto de m x n números, ordenados em m linhas e n colunas.

Nessa estrutura, o primeiro subíndice indica a linha, e o segundo, a coluna em que se encontra o elemento. No contexto matricial incluem-se noções como a de matriz quadrada, de dimensões m x m; matriz transposta, obtida ao se trocarem as posições das linhas por aquelas ocupadas pelas colunas; matriz identidade, I, na qual todos os elementos são nulos, excetuada a diagonal principal, composta pelos elementos a11, a22,..., amn, com m = n, que são iguais a l; e a denominada matriz inversa, A-1, que obedece à relação A-1 = A-1 . A = I, onde I é a matriz identidade.

No cálculo matricial destaca-se, graças à multiplicidade de aplicações a que se destina, o artifício denominado determinante, definido como a soma dos produtos possíveis de n fatores de uma matriz quadrada n x n, segundo uma determinada ordenação.

A teoria das matrizes, parte fundamental da álgebra linear, tem ampla aplicação em vários estudos físicos, como os relacionados às malhas de redes elétricas e à propagação de ondas.

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